حل امتحان رياضة بحتة بالإجابات والشرح

1. أت٢

   ليه دي غلطت_٢ ينتج عند ر=١ ويحتوي على س^٦.

2. بت٣

   ليه دي غلطت_٣ ينتج عند ر=٢ ويحتوي على س^٤.

3. جت٤

   ليه دي غلطت_٤ ينتج عند ر=٣ ويحتوي على س^٢.

4. دت٥ الإجابة الصحيحة

ليه دي الصحنلاحظ أن (س^٢ + ٢ + ١/س^٢) = (س + ١/س)^٢، فالمفكوك يساوي (س + ١/س)^٨. الحد العام ت_{ر+١} = ⁸Cᵣ·س⁽٨−٢ر⁾. للحد الخالي من س: ٨−٢ر=٠ ← ر=٤، وهو ت_٥.

المفتاح هنا ملاحظة أن س^٢ + ٢ + ١/س^٢ يساوي (س + ١/س)^٢، لذلك يصبح المفكوك كله (س + ١/س)^٨. الحد العام في هذا المفكوك هو ⁸Cᵣ س^(٨−ر) (١/س)^ر = ⁸Cᵣ س^(٨−٢ر). الحد الخالي من س يعني أن أس س يساوي صفرًا، فنحل ٨−٢ر=٠ فنجد ر=٤. وبما أن رقم الحد هو ر+١، فالحد المطلوب هو ت_٥.

1. أ١١

   ليه دي غلط١١ ناتج عن خطأ في الجمع أو الحساب.

2. ب١٢

   ليه دي غلط١٢ ناتج عن إغفال إحدى المركبات.

3. ج١٣ الإجابة الصحيحة
4. د٢٠

   ليه دي غلط٢٠ ناتج عن جمع المعاملات دون تربيع.

ليه دي الصحأ ج⃗ = أب⃗ + ب ج⃗ = (١٢، −٤، ٣)، فـ ‖أ ج⃗‖ = √(١٤٤ + ١٦ + ٩) = √١٦٩ = ١٣.

المتجه من أ إلى ج يساوي مجموع المتجهين المتتاليين أ ب⃗ + ب ج⃗. نجمع المركبات: (٨،٢،٥)+(٤،−٦،−٢) = (١٢،−٤،٣). طول المتجه يحسب بجذر مجموع مربعات المركبات: ‖أ ج⃗‖ = √(١٢^٢ + (−٤)^٢ + ٣^٢) = √(١٤٤+١٦+٩)=√١٦٩=١٣. لذلك الاختيار الصحيح هو ١٣.

1. أ٢هـ الإجابة الصحيحة
2. ب½هـ

   ليه دي غلط½هـ ناتج عن خطأ في تطبيق قاعدة الاشتقاق.

3. جهـ^٢

   ليه دي غلطهـ^٢ ناتج عن خطأ في تبسيط الأس.

4. د٢هـ^٢

   ليه دي غلط٢هـ^٢ ناتج عن خطأ في تعويض قيمة س.

ليه دي الصحص = هـ⁽١+٢لوس⁾ = هـ·هـ⁽٢لوس⁾ = هـ·س^٢، إذن ص' = ٢هـ·س. عند س=١: ص'=٢هـ.

نبسط الدالة أولًا باستعمال خواص الأسس واللوغاريتمات: هـ^(١+٢لو س)=هـ × هـ^(٢لو س)=هـ × س^٢. إذن ص = هـ س^٢. ميل المماس هو المشتقة ص′، فنشتق فنحصل على ص′ = ٢هـ س. عند س=١ يكون الميل ٢هـ. الخطأ الشائع هو اشتقاق الصورة الأسية مباشرة دون تبسيط، أو نسيان أن هـ ثابت مضروب في س^٢.

1. أطالعة

   ليه دي غلطالدالة مش طالعة: f′ تحت المحور معناها المشتقة سالبة، والمشتقة السالبة بتدّي دالة نازلة.

2. بنازلة الإجابة الصحيحة
3. جثابتة

   ليه دي غلطالدالة مش ثابتة: ثبات الدالة يحتاج f′ تساوي صفر (على المحور)، لكن f′ هنا تحت المحور.

ليه دي الصحالمكان هو الحكم — الميل مالوش دعوة.

السؤال عن رسم f′، وليس رسم f نفسه. عندما يكون f′ تحت محور السينات فهذا يعني أن المشتقة سالبة في ذلك المجال. المشتقة السالبة تعني أن الدالة الأصلية f تتناقص. كون رسم f′ نفسه صاعدًا يصف تغير قيمة المشتقة، وقد يدل على التقعر، لكنه لا يجعل f متزايدة. لذلك الحكم الأساسي هنا هو مكان f′ بالنسبة للمحور: تحت المحور يعني الدالة نازلة.

1. أجا س

   ليه دي غلطجا س من غير إشارة سالبة غلط: مشتقة جتا بتاخد الإشارة السالبة.

2. ب− جا س الإجابة الصحيحة
3. ججتا س

   ليه دي غلطجتا س هي الدالة نفسها مش مشتقتها.

ليه دي الصحالعيلة السالبة: اللي فيها تاء.

قاعدة الاشتقاق الأساسية تقول إن مشتقة جا س هي جتا س، ومشتقة جتا س هي −جا س. الإشارة السالبة مهمة لأنها تميز مشتقة جتا عن جا. لذلك لا نختار جا س وحدها؛ لأن ذلك ينسى الإشارة، ولا نختار جتا س لأنها الدالة الأصلية نفسها وليست مشتقتها. إذن مشتقة جتا س هي −جا س.

1. أΔx / Δy

   ليه دي غلطΔx / Δy مقلوبة: الميل بيحط التغيّر الرأسي Δy فوق والأفقي Δx تحت.

2. بΔy / Δx الإجابة الصحيحة
3. جزي بعض

   ليه دي غلطالنسبتين مش زي بعض إلا في حالة خاصة؛ التعريف العام للميل هو Δy / Δx.

ليه دي الصحاللي بيتغير في y… فوق. دايمًا.

الميل يقيس مقدار التغير الرأسي مقابل التغير الأفقي. التغير الرأسي هو Δy أو Δص، والتغير الأفقي هو Δx أو Δس. لذلك التعريف هو الميل = Δy/Δx، أي التغير في y فوق التغير في x. عكس الكسر يعطي كمية مختلفة، ولا يكون مساويًا للميل إلا في حالات خاصة جدًا، لذلك الاختيار العام الصحيح هو Δy / Δx.