حل المتغيرات العشوائية والتوزيعات في إحصاء بالإجابات والشرح

1. أ٠,٩٥٥٧

   ليه دي غلط٠,٩٥٥٧ ده قيمة من جدول التوزيع الطبيعي لمسافة حوالين ±2σ تقريبًا؛ السؤال مش بيسأل على مسافة محددة، بيسأل على المتوسط نفسه.

2. ب٠,٣٤٩٣

   ليه دي غلط٠,٣٤٩٣ ده مساحة بين المتوسط وقيمة z معينة من الجدول، كأن فيه قيمة z معطاة — ومفيش.

3. ج٠,٥ الإجابة الصحيحة
4. د٠,٥٤٩٣

   ليه دي غلط٠,٥٤٩٣ ده ٠,٥ + مساحة صغيرة لقيمة z محددة؛ نفس الفكرة، بتعامل المسألة كأنها بحث في جدول بدل تماثل حوالين المتوسط.

ليه دي الصحفي التوزيع الطبيعي تكون نصف المساحة على يسار المتوسط، أي ٠,٥.

السؤال ده بيختبر خاصية التماثل في التوزيع الطبيعي. التوزيع الطبيعي متماثل حوالين المتوسط μ، والمتوسط هنا هو كمان الوسيط، فبالظبط نص المساحة (نص الاحتمال الكلي) على يساره. يبقى ل(Η ≤ μ) = 0,5. الطريقة: أي احتمال على شكل «أقل من أو يساوي المتوسط» في الطبيعي = نص، من غير جدول.

1. أ٣

   ليه دي غلطلا تنتج ٣ عن خطأ حسابي معتاد من المعطيات؛ الصيغ المباشرة للتوزيع الهندسي تعطي 1 ÷ ح = ٥ و(1 - ح) ÷ ح = ٤ من ح = ٠,٢، ولا توجد صيغة تعطي ٣.

2. ب٤

   ليه دي غلطاستخدام متوسط عدد حالات الفشل قبل أول نجاح: (1 - ح) ÷ ح = 0,8 ÷ 0,2 = 4، بدلًا من توقع عدد المحاولات 1 ÷ ح.

3. ج٥ الإجابة الصحيحة
4. د٦

   ليه دي غلطإضافة ١ زيادةً إلى التوقع الصحيح: 1 ÷ 0,2 + 1 = 6، كأن يُحسب متوسط الفشل (1 - ح) ÷ ح = ٤ ثم تُضاف محاولتان بدلًا من محاولة واحدة للمحاولة الناجحة الأخيرة.

ليه دي الصحفي التوزيع الهندسي ل(س = ك) = ح(1 - ح)^(ك-1)، فعند التعويض بك = ١ نحصل على ل(س = 1) = ح مباشرةً، أي أن ح = ٠,٢. وتوقع التوزيع الهندسي = 1 ÷ ح، فيكون التوقع = 1 ÷ 0,2 = 5.

يختبر هذا السؤال فهم دالة التوزيع الهندسي (عدد المحاولات حتى أول نجاح) واستخراج المعامل ح من احتمال معطى مباشرة. المعطى ل(س = 1) = ٠,٢، وبما أن ل(س = ك) = ح(1 - ح)^(ك-1) فإن التعويض بك = ١ يعطي ل(س = 1) = ح(1 - ح)^٠ = ح، ومنه ح = ٠,٢ دون حاجة إلى أي معادلات إضافية. ثم يُحسب التوقع = 1 ÷ ح = 1 ÷ 0,2 = 5. القاعدة القابلة لإعادة الاستخدام: في التوزيع الهندسي ل(س = 1) = ح دائمًا، فإذا أُعطيت قيمة هذا الاحتمال فهي نفسها ح، والتوقع = 1 ÷ ح.

1. أ٠,٨٩٠٤ الإجابة الصحيحة
2. ب٠,٤٣٧٠

   ليه دي غلطالقيمة دي أصغر من مساحة الجهة الواحدة نفسها (٠,٤٤٥٢ اللي هي نص ٠,٨٩٠٤)، فبتقل حتى عن نص المنطقة المطلوبة قبل ما نضم الجهتين.

3. ج٠,٤١١٥

   ليه دي غلطلو ضربتها في اتنين عشان الجهتين هتلاقي ٠,٨٢٣، وهي لسه أقل من ٠,٨٩٠٤ — يعني صغيرة عن اللازم حتى بعد ما ناخد التناظر في الحسبان.

4. د٠,٤٥٧٣

   ليه دي غلطأكبر من جهة واحدة (٠,٤٤٥٢) وأصغر من المساحة الكاملة (٠,٨٩٠٤)؛ المساحة المتناظرة لازم تطلع ضعف الجهة الواحدة بالظبط.

ليه دي الصحل(|ص| < 1,6) = 2Φ(1,6) − 1 = 0,8904، وهي القيمة المطبوعة في الاختيار الأول.

القيمة المطلقة بتخلي الشرط متناظر حوالين الصفر، يعني المساحة المطلوبة على ناحيتين مش ناحية واحدة. قاعدة التوزيع الطبيعي المعياري للمنطقة دي ل(|ص| < 1,6) = 2Φ(1,6) − 1 = 0,8904، ومساحة كل ناحية لوحدها ٠,٤٤٥٢. الطريقة: كل ما تقابل قيمة مطلقة في سؤال زي ده، حوّلها للمتباينة −١,٦ < ص < ١,٦ واستعمل التماثل قبل ما تحسب.