حل مقاييس التشتت في إحصاء بالإجابات والشرح

1. أصفر

   ليه دي غلطأخذ م = ٠ بوصفه أصغر خانة عشرات ممكنة تقل عن الساقين (٢) و(٣) لأن الساقات مرتبة تصاعديًا، دون استخدام معطى المدى؛ وبالتعويض تكون القيم ٠، ٠، ٤، ٥، ٢٠، ٢٠، ٢١، ٢٣، ٣٠، ٣٠، ٣٠ والمدى 30 − 0 = 30 لا ١٩، فالاختيار يخالف المعطى.

2. ب١ الإجابة الصحيحة
3. ج١١

   ليه دي غلطحساب أصغر قيمة = ٣٠ − ١٩ = ١١ ثم الإجابة بها نفسها كأنها قيمة م، مع أن أصغر قيمة مكتوبة (م م) أي ١٠م + م = ١١م فيكون م = 11 ÷ 11 = 1؛ ويقع في الخطأ نفسه من يحل ٣٠ − م = ١٩ معتبرًا خانة الساق وحدها هي أصغر قيمة فيحصل على ١١.

4. د١٣

   ليه دي غلطلا ينتج عن أي حساب من معطيات السؤال: معادلة المدى ٣٠ − ١١م = ١٩ تعطي م = ١ وحدها، والدرجة النهائية من ٣٠ تجعل خانة العشرات (الساق) لا تتجاوز ٣ والساقات مرتبة تصاعديًا قبل ٢ و٣، فساق قيمته ١٣ مستحيلة أصلًا ولا يوجد تركيب آخر للبيانات يفضي إليها.

ليه دي الصحبالمفتاح المطبوع (الساق ٣ مع الورقة ٠ تعني القيمة ٣٠) تُقرأ كل قيمة على أنها 10 × الساق + الورقة، فنحصل من الساق (م) على القيم (م م)، (م م)، (م ٤)، (م ٥)، ومن الساق (٢) على (٢ م)، (٢ م)، ٢١، ٢٣، ومن الساق (٣) على ٣٠، ٣٠، ٣٠، وعددها 4 + 4 + 3 = 11 قيمة كما ينص السؤال. أكبر قيمة هي ٣٠، وبما أن المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة = ١٩، فإن أصغر قيمة = ٣٠ − ١٩ = ١١. وأصغر قيمة في العرض هي (م م) = ١٠م + م = ١١م، ومنها ١١م = ١١ أي م = ١. وبالتعويض تصبح البيانات ١١، ١١، ١٤، ١٥، ٢١، ٢١، ٢١، ٢٣، ٣٠، ٣٠، ٣٠ فعددها ١١ قيمة ومداها 30 − 11 = 19 وهو ما يطابق المعطى تمامًا.

يختبر السؤال قراءة عرض الساق والأوراق عبر المفتاح المطبوع (الساق ٣ مع الورقة ٠ تعني القيمة ٣٠، أي الساق عشرات والورقة آحاد) مع وجود الرمز م مجهولًا في الساق الأول وفي ورقتين من الساق الثاني، ثم توظيف مفهوم المدى لتحديد هذا المجهول. عدد القيم 4 + 4 + 3 = 11 يطابق نص السؤال فالعرض كامل لا ينقصه إلا تعيين م. أكبر قيمة هي ٣٠ من الساق (٣)، ولأن المدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة = ١٩ فإن أصغر قيمة = ٣٠ − ١٩ = ١١، وأصغر قيمة في العرض هي (م م) = ١٠م + م = ١١م، ومنها م = ١. ويعضد ذلك أن الساقات مرتبة تصاعديًا (م ثم ٢ ثم ٣) فلا يكون م إلا ٠ أو ١، والمدى يستبعد ٠ لأنه يجعل أصغر قيمة ٠ والمدى ٣٠. وبالتعويض تكون البيانات ١١، ١١، ١٤، ١٥، ٢١، ٢١، ٢١، ٢٣، ٣٠، ٣٠، ٣٠ وهي ١١ قيمة مداها ١٩ كما هو معطى. القاعدة القابلة لإعادة الاستخدام: في أي عرض ساق وأوراق اكتب كل قيمة على صورة (10 × الساق + الورقة) بحسب المفتاح، فإذا ورد رمز مجهول عبّر عن أكبر قيمة وأصغر قيمة بدلالته ثم ساوِ الفرق بينهما بالمدى المعطى، وتحقق في النهاية بالتعويض وبعدد القيم.

1. أ٤٧,٥

   ليه دي غلطجمع نصف المدى الربيعى إلى أقل قيمة (نهاية الشارب الأيسر = 30) بدلًا من الربيع الأوسط: 17,5 + 30 = 47,5.

2. ب٧٢,٥ الإجابة الصحيحة
3. ج٩٧,٥

   ليه دي غلطجمع نصف المدى الربيعى إلى الربيع الثالث (٨٠) بدلًا من الربيع الأوسط: 17,5 + 80 = 97,5.

4. د٦٢,٥

   ليه دي غلطجمع نصف المدى الربيعى إلى الربيع الأول (٤٥) بدلًا من الربيع الأوسط: 17,5 + 45 = 62,5، وهو أيضًا متوسط الربيعين الأول والثالث (45 + 80) ÷ 2 = 62,5 عند فهم الربيع الأوسط فهمًا خاطئًا.

ليه دي الصحمن التمثيل الصندوقى نقرأ قيم الأربيع: الربيع الأول = ٤٥ (الحافة اليسرى للصندوق)، والربيع الأوسط (الوسيط) = ٥٥ (الخط داخل الصندوق)، والربيع الثالث = ٨٠ (الحافة اليمنى للصندوق). نصف المدى الربيعى = (الربيع الثالث − الربيع الأول) ÷ 2 = (80 − 45) ÷ 2 = 17,5. إذن نصف المدى الربيعى + الربيع الأوسط = ١٧,٥ + ٥٥ = ٧٢,٥.

يختبر السؤال قدرة الطالب على قراءة مقاييس النزعة المركزية والانتشار مباشرة من التمثيل الصندوقى: فحدتا الصندوق هما الربيع الأول (٤٥) والربيع الثالث (٨٠)، والخط الرأسى داخل الصندوق هو الربيع الأوسط أى الوسيط (٥٥)، ويمتد الشارب الأيسر إلى أقل قيمة (٣٠) والأيمن إلى أكبر قيمة (٩٠). خطوات الحل: نحسب أولًا نصف المدى الربيعى = (80 − 45) ÷ 2 = 17,5، ثم نجمعه مع الربيع الأوسط المقروء من الشكل: 17,5 + 55 = 72,5. القاعدة القابلة لإعادة الاستخدام: فى أى تمثيل صندوقى اقرأ الربيع الأول والثالث من حافتى الصندوق والربيع الأوسط من الخط الواقع داخله، واحسب نصف المدى الربيعى = (الربيع الثالث − الربيع الأول) ÷ 2 قبل أى جمع أو مقارنة، ولا تُبدِّل الربيع الأوسط بأى قيمة أخرى من قيم الشكل الخمس.

1. أ١٩,٥

   ليه دي غلطعكس النسبة مع استخدام التباين بدل الانحراف المعياري: (4 ÷ 20,5) × 100 ≈ 19,5%.

2. ب٤٠,٥

   ليه دي غلطخطأ الإشارة عند حساب التباين بجمع التوقع بدل طرح مربعه: 36,5 + 4 = 40,5.

3. ج٣٢,٥

   ليه دي غلططرح التوقع نفسه بدل مربعه عند حساب التباين: 36,5 − 4 = 32,5 ثم اعتبار الناتج هو المطلوب.

4. د١١٣,٢ الإجابة الصحيحة

ليه دي الصحالمعطى الأول هو التوقع م(س) = ٤، والمعطى الثاني مج س^٢ × د(س) = ٣٦,٥ يمثل متوسط مربعات القيم أي العزم الثاني م(س^٢). فالتباين = م(س^٢) − [م(س)]^٢ = 36,5 − (4)² = 36,5 − 16 = 20,5، ومنه الانحراف المعياري = √20,5 ≈ 4,528. إذن معامل الاختلاف = (الانحراف المعياري ÷ المتوسط) × 100 = (4,528 ÷ 4) × 100 ≈ 113,2%.

يختبر السؤال استخلاص التباين من العزوم ثم حساب معامل الاختلاف: فعبارة مج س^٢ × د(س) = ٣٦,٥ تعني متوسط مربعات القيم (العزم الثاني) م(س^٢) = ٣٦,٥، والمعطى الآخر هو التوقع م(س) = ٤. بتطبيق قانون التباين: σ² = م(س^٢) − [م(س)]^٢ = ٣٦,٥ − ١٦ = ٢٠,٥، ثم σ = √20,5 ≈ 4,528، وأخيرًا معامل الاختلاف = (σ ÷ م(س)) × 100 = (4,528 ÷ 4) × 100 ≈ 113,2%، وهو أكبر من ١٠٠٪ لأن الانحراف المعياري أكبر من المتوسط. القاعدة القابلة لإعادة الاستخدام: متى أُعطي متوسط مربعات القيم والتوقع، فالتباين = متوسط مربعات القيم − مربع التوقع، ومعامل الاختلاف دائمًا = (الانحراف المعياري ÷ المتوسط) × 100.